[2017년 운정고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

[eqn: lim _{n-> INF } {( sqrt {2n ^{2} +3n} - sqrt {2n ^{2} -3n} )}]의 값은?

③

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: {5 sqrt {2}} over {2}]

등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (x-4) LEFT ( x ^{2} - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은?

⑤

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)= {cases{{x ^{2} -x+a} over {x-2}&````````(x != 2)#`````````````````b&`````````(x=2)}}] 가 [eqn: x=2]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +2x-3]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1} {{f(x ^{2} )-f(1)} over {x-1}}]의 값은?

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {sqrt {n+1} - sqrt {n}} over {sqrt {n(n+1)}}]의 값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

닫힌 구간 [eqn: [-2,```2]]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x-> 0+} {f(1-x)} + lim _{x -> 1+} {f ^{``-1} (x)}]의 값은?

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

곡선 [eqn: y=x ^{3} +ax+b] 위의 점 [eqn: (-1,```1)]에서의 접선의 방정식이
[eqn: y=4x+c]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값의 합 [eqn: a+b+c]의 값은?

④

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x-> INF } {{f(x)-x ^{3}} over {x ^{2}} =3,` lim _{x-> 1} {{f(x)} over {x-1} =10}}]을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은?

③

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 임의의 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여
[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)]
를 만족시킨다. [eqn: f``'(0)=1]일 때, [eqn: f``'(2)]의 값은?

③

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}] 이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: lim _{n-> INF } {{b _{n}} over {a _{n}}}]의 값은? (단, [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 모든 항이 양수이다.)

(가) [eqn: lim _{n-> INF } {(n+1)a _{n} = {1} over {4}}]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {n} over {2n ^{2} +1} LEQ a _{n} +b _{n} LEQ {n+1} over {2n ^{2} -1}]

④

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

두 함수
[eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b], [eqn: g(x)= cases{ x-2&```(x< -1) # 2&```(-1 le x <1)#x^2&```(x ge1) }]
에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 모든 실수에 대해 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

실수 전체에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a]는 상수)

②

ㄱ. [eqn: lim _{x-> a} {f(x)}], [eqn: lim _{x-> a} {f(x)g(x)}]의 값이 존재하면

[eqn: lim _{x-> a} {g(x)}]의 값도 존재한다.

ㄴ. [eqn: lim _{x-> a} {f(x)}], [eqn: lim _{x-> a} {g(x)}]의 값이 존재하면

[eqn: lim _{x-> a} {LEFT { f(x)+ LEFT | g(x) RIGHT | RIGHT }}]의 값도 존재한다.

ㄷ. 합성함수 [eqn: f(g(x))]가 실수 전체에서 연속이면,

[eqn: g(x)]도 실수 전체에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{ b_n right}] 에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} != 0]이다.)

③

ㄱ. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { {b _{n}} over {a _{n}} RIGHT }]이 수렴하면

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 수렴한다.

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 발산하고, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 수렴하면

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {b _{n}} over {a _{n}}]은 수렴한다.

ㄷ. 두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right]이 등비수열일 때,

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 발산하고, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 수렴하면

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {b _{n}} over {a _{n}}]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: -3 LEQ x LEQ 3]에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프가 다음과 같다. 합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)]가 [eqn: x=a]에서 불연속일 때, 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은?

③

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}] 안에 꼭짓점 [eqn: rmA _{1}], [eqn: rmC _{1}]을 중심으로 하고 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}], [eqn: rmC _{1} D _{1}]을 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 정사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]의 내부와 두 사분원 [eqn: rmA _{1} B _{1} D _{1}], [eqn: rmC _{1} D _{1} B _{1}]의 외부의 공통부분을 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자. 그림 [eqn: R _{1}]에서 사분원 [eqn: rmA _{1} B _{1} D _{1}]의 호 위의 두 점 [eqn: rmA _{2}], [eqn: rmB _{2}]와 사분원 [eqn: rmC _{1} D _{1} B _{1}] 위의 점 [eqn: rmC _{2}], [eqn: rmD _{2}]을 잇는 정사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}] 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 두 개의 사분원을 그리고 정사각형의 내부와 두 사분원의 외부의 공통부분을 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}]의 값은?

⑤

① [eqn: 3(4- pi )( sqrt {3} -1)]	② [eqn: 4(4- pi )( sqrt {3} -1)]

③ [eqn: {4(4- pi )( sqrt {3} +1)} over {3}]	④ [eqn: {3(4- pi )( sqrt {3} +1)} over {2}]

⑤ [eqn: (4- pi )( sqrt {3} +1)]

자연수 [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y= sqrt {x}] 위의 점 [eqn: {rmA} _{k} (k, sqrt {k} )]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rmB} _{k}]라 할 때, 선분 [eqn: {rmA} _{k} {rmB} _{k}] 위의 점 중 [eqn: y]좌표가 정수인 점의 개수를 [eqn: a _{k}]이라 하자. 예를 들면 [eqn: k=9]일 때, 선분 [eqn: rmA _{9} B _{9}] 위의 점 중 [eqn: y]좌표가 정수인 점은 [eqn: (9,```0)], [eqn: (9,```1)], [eqn: (9,```2)],
[eqn: (9,```3)]이므로 [eqn: a _{9} =4]이다.
[eqn: T _{n} = sum _{k=1} ^{n ^{2}} a _{k}]라 하면, [eqn: lim _{n -> INF } {{6T _{n} +an ^{3} +bn ^{2}} over {n+1}}]이 [eqn: c]에 수렴한다. 이 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 합 [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수)

④

[eqn: a_k =[ sqrt { k }]+1]

[eqn: T_n =2cdot3+3cdot5+4cdot7+cdots+n(2n-1)+(n+1)#```````````=sum_k=1 ^n-1 (k+1)(2k+1)+(n+1)#```````````= { 2} over {3 }n^3 + { 1} over { 2}n^2 + { 5} over {6 }n]

① [eqn: 4]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -4]

서술형

[eqn: lim _{x -> - INF } {( sqrt {x ^{2} -2x} +x)}]의 값을 구하는 과정을 함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 서술하시오.

[eqn: 1]

함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

이 때 방정식 [eqn: f`'(x)=0]은 열린 구간 [eqn: (-1,```1)]에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리, 평균값 정리를 이용하여 설명하시오.

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체에서 미분가능하다.

(나) 도함수 [eqn: f` prime (x)]는 실수 전체에서 연속이다.

(다) [eqn: f(-1)=1], [eqn: f(0)=-1], [eqn: f(1)=3]

풀이1)

ⅰ) [eqn: f`'(c)=-2]인 [eqn: c]가 [eqn: (-1,```0)]에 존재한다. (평균값 정리)

ⅱ) [eqn: f` prime (d)=4]인 [eqn: d]가 [eqn: (0,```1)]에 존재한다. (평균값 정리)

ⅲ) [eqn: f`'(e)=0]의 근이 [eqn: (c,```d)]에 존재한다. (사잇값 정리)

풀이2)

ⅰ) [eqn: f(c)=0]인 [eqn: c]가 [eqn: (-1,```0)]에 존재한다. (사잇값 정리)

ⅱ) [eqn: f(d)=0]인 [eqn: d]가 [eqn: (0,```1)]에 존재한다. (사잇값 정리)

ⅲ) [eqn: f`'(e)=0]의 근이 [eqn: (c,```d)]에 존재한다. (평균값 정리)

[19-20] 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: x GEQ 0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{x ^{n+1} +ax ^{2} +bx+c} over {x ^{n} +1}}]라 하자. 다음 물음에 답하시오.

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능 하도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: 5a+3b+c]의 값을 구하는 과정을 함수의 연속과 미분계수의 정의를 이용하여 서술하시오.

[eqn: 3]

[eqn: a=0], [eqn: b=-2], [eqn: c=1]일 때, 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =m(m>0)]과 [eqn: y=f(x)]의 교점의 개수를 [eqn: g(m)]이라 하자. 이 때, 함수 [eqn: g(m)]을 구하는 과정을 서술하고, [eqn: y=g(m)]의 그래프를 그리시오. 또한 [eqn: g(m)]에서 극한값이 존재하지 않는 점의 개수와 불연속점의 개수를 각각 구하시오.

극한값이 존재하지 않는 [eqn: m]값은 [eqn: 2]개 : [eqn: 1over5], [eqn: 1]

불연속인 [eqn: m]값은 [eqn: 3]개 : [eqn: 1over5], [eqn: 1], [eqn: 2]

[2017년 운정고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com